odp 2007

odp 2007, Matura, Matematyka - matury (2005-2013) arkusze+odpowiedzi

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Miejsce
na naklejkę
z kodem szkoły
dysleksja
MMA-R1_1P-072
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 180 minut
MAJ
ROK 2007
Instrukcja dla zdającego
1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15stron
(zadania 1 – 11). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwiązaniach zadań przedstaw tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora.
9. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.
Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
egzaminatora.
10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.
Zamaluj pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne
zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe.
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie
50 punktów
Życzymy powodzenia!
Wypełnia zdający przed
rozpoczęciem pracy
KOD
ZDAJĄCEGO
PESEL ZDAJĄCEGO
2
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 1.
(5 pkt)
Dana jest funkcja
()
1
=−−+ dla
x
∈ .
a) Wyznacz zbiór wartości funkcji
f
dla
( )
fx x
x
2
x
∈ −∞ − .
,2
b) Naszkicuj wykres tej funkcji.
c) Podaj jej miejsca zerowe.
d) Wyznacz wszystkie wartości parametru
m
, dla których równanie
()
f x
= nie ma
a) Niech
( )
x
∈−∞−
,
wtedy:
,2
x
−<, czyli
( )
x
−=− − oraz
1
x
1
x
+<, czyli
( )
x
+=−+ .
2
x
2
Zatem dla
( )
x
∈−∞− otrzymuję:
,2
=− − − − + =− + + + =
.
x
1
x
2
x x
1
2 3
Funkcja
f
dla
( )
x
∈ −∞ − jest funkcją stałą, a jej zbiorem wartości jest
,2
zbiór
{
3.
b) Po zastosowaniu definicji wartości bezwzględnej funkcję
f
zapisuję
w następującej postaci:
⎧
∈−∞−
⎪
=−− ∈−
3
dla
x
( )
)
, 2
fx
()
⎨
⎪
21 la
x
x
,1
⎩
−
3 la
x
∈ ∞
,
)
rozwiązania.
10
20
fx
( ) ( ) (
( )
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
3
Szkicuję wykres funkcji
f.
y
3
-2
1
x
-1
-3
Funkcja ma jedno miejsce zerowe w przedziale
( )
− (co widać na
sporządzonym wykresie).
Miejsce zerowe funkcji
f
wyznaczam, korzystając z jej wzoru w tym przedziale:
−−=, stąd
x
=− .
1
2
c) Równanie
( )
f xm
= nie ma rozwiązań, gdy prosta o równaniu
ym
=
nie przecina wykresu funkcji
f
, czyli dla
m
< − lub
m
> .
2,1
210
0
3
3
4
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 2. (
5 pkt
)
Rozwiąż nierówność:
( )
( ) ( )
log
x
2
−+ −
1 log 5
x
>
log
( )
3
x
+
.
1
1
1
3
3
3
Wyznaczam dziedzinę nierówności logarytmicznej:
x
2
−> ∧ − > ∧ +>.
10 5 0
x
x
10
Rozwiązania tych nierówności zaznaczam na osi liczbowej:
–1
0 1
5
x
Dziedziną danej nierówności jest przedział
( )
1, 5 .
Korzystam ze wzoru na sumę logarytmów i otrzymuję nierówność równoważną:
log
⎡
( )
( ) ( )
2
−−> +
1 5
x
⎤
log 3
( )
x
1
.
1
⎣
⎦
1
3
3
Funkcja logarytmiczna przy podstawie
1
3
jest malejąca, więc po opuszczeniu
logarytmów i zmianie zwrotu nierówności otrzymuję nierówność równoważną:
( )
( ) ( )
x
2
−−<+
.
15
x
3 1
x
Przedstawiam ją w postaci iloczynowej:
( )( )( ) ( )
x
−+−<+
1
x
1 5
x
3
x
1
( )( )( ) ( )
x
−+−−+<
1
x
1 5
x
3
x
1 0
( ) ( )( )
x
+ − − − <
1
⎡
x
1 5
x
3 0
⎤
( )
( )
x
+−+−<
1
x
2
6 8 0
x
−+ − −<
( )( )( )
x
1
x
2
x
4 0
Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów
( ) ( )
− ∪∞.
1, 2
4,
Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej jest część wspólna otrzymanego
zbioru i dziedziny:
( ) ( )
12 45
,
∪
.
,
1
x
⎣
⎦
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
5
Zadanie 3. (
5 pkt
)
Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym
promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień
półkuli. Objętość stożka stanowi
2
3
objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły
lądownika.
Sporządzam pomocniczy rysunek:
h
r
Zapisuję zależność miedzy długością promienia stożka i jego wysokością:
h
=+
.
1
Objętość
V
kapsuły zapisuję jako sumę objętości stożka i półkuli:
= ⋅ + =
( )
π π
2
2
r
3
1
π
rr
2
⋅ ++ stąd
1
2
π
r
3
Vr
=+ .
π π
3
1
3
r
2
3
3
3
3
Zależność między objętością
V
stożka i objętością
V
kapsuły wynikającą
z treści zadania ma postać:
S
VV
= , stąd
2
3
1
rr
2
⋅ += +
( )
1
2
⎛
π π
r r
1
2
⎠
3
3
⎝
3
1
rr
2
( )
+= +
1
2
π
⎛ ⎞
r r
2
⎝ ⎠
1
3
3
3
r
+= +
⎝ ⎠
r
1
3
r
= .
1
3
Obliczam objętości
V
kapsuły lądownika:
V
=
2
π
m
3
.
27
1
Vr h
π
3
⎞
⎜
⎟
π
⎜ ⎟
12
⎛ ⎞
⎜ ⎟
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

anio102.xlx.pl