odp04

odp04, Zestaw zadań- wyrównawcze z matematyki UJ

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Projekt: “Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki — Wiking”, Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UJ
Materiały do zajec wyrównawczych z matematyki dla studentów informatyki, rok akademicki 2011/12, Odpowiedzi — funkcja potegowa, wykładnicza
i logarytmiczna
1. Uprosc wyrazenia
4
q
x
2
1
2
(2
3
2
5
)
2
;
Odpowiedz:
4
q
(2
3
2
5
)
2
=
2
3+5
2
1
4
=
2
8
2
1
4
=2
8
1
2
=2
4
=16.
x
2
1
2
=jxj, gdyz2
1
2
=1, ale wynikiem pierwiastkowania moze byc tylko liczba nieujemna.
2. W pewnym jezyku programowania mamy dostepne tylko funkcjeln()orazexp(). Jak w tym jezyku pro-
gramowania wyrazic (x;y;z;r >0)log
2
x,log
10
y,10
x
,2
y
,8
z
,13
r
?
Odpowiedz:
log
2
x=
lnx
ln10
.10
x
=(exp(ln10))
x
=exp(xln10).2
y
=exp(yln2).
8
z
=exp(zln8).13
r
=exp(rln13).
ln2
. log
10
y=
lny
3. Udowodnij, ze (a;x;y;z >0)
log
a
x
y
=ylog
a
x
(1a)
Odpowiedz:
log
a
x
y
=log
a
a
log
a
x
y
=log
a
a
ylog
a
x
=ylog
a
x.
log
x
ylog
y
z=log
x
z
(1b)
Odpowiedz:
log
x
ylog
y
z=log
x
y
log
y
z
=log
x
z, gdyz
z definicji logarytmu o podtsawie y
, y
log
y
z
=z.
log
x
ylog
y
x=1
(1c)
Odpowiedz:
Równosc te otrzymujemy z (1b) przyjmuj ac z=x.
ln(xy)=lnx+lny
(1d)
Odpowiedz:
lnx+lny=ln
e
lnx+lny
=ln
e
lnx
e
lny
=ln(xy).
x
y
ln
=lnxlny:
(1e)
Odpowiedz:
lnxlny=ln
e
lnxlny
=ln
e
lnx
e
lny
=ln
e
lnx
e
lny
=ln
y
.
(1f)
4. Wykorzystuj ac wyniki poprzedniego zadania, w tym wzór na zamiane podstaw logarytmów, udowodnij, ze
log
10
(xy)=log
10
x+log
10
y:
Odpowiedz:
Wiemy, zeln(xy)=lnx+lny.
Dziel ac te równosc obustronnie przezln10otrzymujemy
ln(xy)
ln10
+
lny
ln10
=
lnx
ln10
. Korzystaj ac ze wzoru na zamiane podstaw logarytmów, otrzymujemy poszukiwan a
równosc.
5. Oblicz
10
12
2
=10
23
log
2
(816); log
10
:
Odpowiedz:
log
2
(816)=log
2
2
3
2
4
=log
2
2
7
=7.
log
10
10
12
2
=10
23
=log
10
10
212
10
23
=log
10
10
24
10
23
=log
10
10=1.
Projekt wspófinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
1
 6. Definiujemy funkcje hiperboliczne:
e
x
e
x
; coshx=
1
2
e
x
+e
x
:
sinhx=
1
2
Udowodnij, ze
cosh
2
xsinh
2
x=1:
Odpowiedz:
1
2
e
x
+e
x
2
1
2
e
x
e
x
2
cosh
2
xsinh
2
x=
e
2x
+2e
x
e
x
+e
2x
e
2x
2e
x
e
x
+e
2x
=
1
4
e
2x
+2+e
2x
e
2x
+2e
2x
=
2+2
=
1
4
4
=1
7. Wyraz za pomoc a funkcji hiperbolicznych (jaj < jj)
+
p
2
a
2
p
2
a
2
Aexp
+Bexp
:
Odpowiedz:
Z definicji funkcji hiperbolicznych wynika, ze
e
x
=coshx+sinhx
e
x
=coshxsinhx
Wobec tego
Aexp
+
p
2
a
2
+Bexp
p
2
a
2
=e
h
Aexp
p
2
a
2
+Bexp
p
2
a
2
i
=e
h
A
cosh
p
2
a
2
+sinh
p
2
a
2
+B
cosh
p
2
a
2
sinh
p
2
a
2
i
=e
h
(A+B)cosh
p
2
a
2
+(AB)sinh
p
2
a
2
i
:
8. Definiujemy
arcoshx=y ,coshy=x;
arsinhx=y ,sinhy=x:
Wyraz funkcjearcosh(),arsinh()za pomoc a logarytmu naturalnego i funkcji elementarnych.
Funkcje
odwrotne do funkcji hiperbolicznych nazywa sie funkcjami “area”.
Odpowiedz:
Niecharcoshx=y. Wobec tego
x=coshy
x=
1
2
e
y
+e
y
2x=e
y
+e
y
e
y
2x+e
y
=0
e
y
e
2y
2xe
y
+1=0
Jest to równanie kwadratowe w zmiennej e
y
. Jego rozwi azaniem jest
e
y
=x+
p
x
2
1
y=ln
x+
p
x
2
1
arcoshx=ln
x+
p
x
2
1
Projekt wspófinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
2
 p
Rozwi azanie e
y
=x
x
2
1daje drug a gał az funkcjiarcoshx, zaznaczon a na ponizszym rysunku lini a
przerywan a. Zauwazmy, ze
p
x
2
1
=x
p
x
2
1;
1
x
2
1
=
x
x
2
1
p
p
p
x+
x
2
1
x
x+
a wobec tegoln
x
p
x
2
1
=ln
x+
p
x
2
1
.
Postepuj ac analogicznie, stwierdzamy, ze
arsinhx=ln
x+
p
x
2
+1
Funkcja ta ma tylko jedn a gał az.
9. Naszkicuj wykresy funkcjisinhx,coshx,arsinh(),arcosh().
10
2
cosh(x)
sinh(x)
ar cosh(x)
ar sinh(x)
5
1
0
0
-5
-1
-10
-2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
x
Wykresy funkcji hiperbolicznych (lewy panel) i ich funkcji odwrotnych (prawy panel).
Projekt wspófinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
3
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

anio102.xlx.pl