odpowiedzi styczen 2012

odpowiedzi styczen 2012, matematyka matura

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Materiał ćwiczeniowy z matematyki
Poziom podstawowy
Styczeń 2012
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych
oraz
schemat oceniania
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Model oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki - poziom podstawowy
2
KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH
Nr zadania
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Odpowiedź
C
D
A
B
C
D
C
B
B
B
A
D
B
D
B
C
B
B
A
A
D
C
B
MODEL OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH
Zadanie 24.
(0 - 2)
Rozwiąż równanie
x
3
-
2
x
2
-
13
x
+
26
=
0
.
I sposób rozwiązania
(metoda grupowania)
Przekształcamy lewą stronę równania do postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania
wyrazów.
2
2
2
x
(
x
-
2
)
-
13
(
x
-
2
)
=
0
lub
x
(
x
-
13
)
-
2
(
x
-
13
)
=
0
2
(
x
-
13
)(
x
-
2
)
=
0
Stąd
x
=
13
lub
x
=
-
13
lub
x
=
2
.
II sposób rozwiązania
(metoda dzielenia)
Stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
x
-
2
x
-
13
x
+
26
.
3
2
Dzielimy wielomian
x
-
2
x
-
13
x
+
26
przez dwumian
x
-
2
.
2
Zatem
(
x
-
13
)(
x
-
2
)
=
0
. Stąd
x
=
13
lub
x
=
-
13
lub
x
=
2
.
III sposób rozwiązania
(schemat Hornera)
Szukamy
pierwiastka
wśród
całkowitych
dzielników
wyrazu
wolnego
{
}
. Stwierdzamy, że pierwiastkiem jest liczba 2.
Wykorzystując schemat Hornera
-
26
,
-
13
,
-
2
-
1
2
13
,
26
1
-2
-13
26
2
1
0
-13
0
3
2
wyznaczamy iloraz z dzielenia wielomianu
x
-
2
x
-
13
x
+
26
przez dwumian
x
-
2
:
2
x
-
13
.
2
Zatem
(
x
-
13
)(
x
-
2
)
=
0
. Stąd
x
=
13
lub
x
=
-
13
lub
x
=
2
.
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Model oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki - poziom podstawowy
3
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................. 1pkt
gdy:
·
2
zapisze równanie w postaci iloczynowej:
x
(
x
-
2
)
-
13
(
x
-
2
)
=
0
2
2
lub
x
(
x
-
13
)
-
2
(
x
-
13
)
=
0
albo
(
)
3
2
x
-
2
·
podzieli wielomian
x
-
2
x
-
13
x
+
26
przez dwumian
otrzymując iloraz:
2
x
-
13
.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2pkt
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
x
=
13
lub
x
=
-
13
lub
x
=
2
.
Zadanie 25. (0 - 2)
Udowodnij, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.
I sposób rozwiązania
Zapisujemy dwie kolejne liczby nieparzyste w postaci
2
n
+
1
oraz
2
n
+
3
, gdzie
n
należy
do zbioru liczb całkowitych.
Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest równa
(
2
n
+
1
2
+
(
2
n
+
3
2
.
Przekształcaj
ą
c wyra
ż
enie otrzymujemy:
4
n
2
+
4
n
+
1
+
4
n
2
+
12
n
+
9
=
8
n
2
+
16
n
+
10
=
2
(
4
n
2
+
8
n
+
5
.
II sposób rozwiązania
Zapisujemy dwie kolejne liczby nieparzyste w postaci
2
n
-
1
oraz
2
n
+
1
, gdzie
n
należy
do liczb całkowitych.
Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest równa
2
2
(
2
n
-
1
+
(
2
n
+
1
.
Przekształcając wyrażenie otrzymujemy:
2
2
2
2
4
n
-
4
n
+
1
+
4
n
+
4
n
+
1
=
8
n
+
2
=
2
(
4
n
+
1
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................. 1pkt
gdy zapisze wyrażenie w postaci
2
2
2
2
(
2
n
+
1
+
(
2
n
+
3
lub
(
2
n
-
1
+
(
2
n
+
1
, gdzie
n
należy
do zbioru liczb całkowitych.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................. 2pkt
gdy przekształci wyra
ż
enie
2
2
2
2
(
2
n
+
1
+
(
2
n
+
3
lub
(
2
n
-
1
+
(
2
n
+
1
do postaci
2
k
, gdzie
k
nale
ż
y do zbioru liczb całkowitych.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość twierdzenia dla konkretnych wartości, to otrzymuje
0 punktów
.
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Model oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki - poziom podstawowy
4
Zadanie 26. (0 - 2)
Wyznacz sumę wszystkich dwucyfrowych parzystych liczb naturalnych.
Rozwiązanie
Dwucyfrowe parzyste liczby naturalne tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
a
=
10
,
r
=
2
,
1
n
.
Obliczamy sumę tych liczb, korzystając ze wzoru na sumę
n
początkowych wyrazów ciągu
=
45
(
)
a
+
a
a
+
a
+
45
-
1
×
r
1
45
1
1
arytmetycznego:
S
=
×
45
=
×
45
=
2430
.
45
2
2
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................. 1pkt
gdy zapisze
a
=
10
,
r
=
2
,
n
=
45
.
1
Zdający otrzymuje ............................................................................................................. 2pkt
gdy wyznaczy
S
=
2430
.
45
Uwagi
1.
Jeżeli zdający poda tylko sumę, to otrzymuje
0 punktów
.
2.
Je
ż
eli zdaj
ą
cy wypisze wszystkie dwucyfrowe parzyste liczby naturalne i poda ich sum
ę
,
to otrzymuje
2 punkty
.
Zadanie 27. (0 - 2)
3
2
cos
a
+
sin
a
×
cos
a
Wyznacz miarę kąta ostrego
, dla którego wyrażenie
ma wartość 2.
a
2
cos
a
I sposób rozwiązania
3
2
cos
a
+
sin
a
×
cos
a
Zapisujemy równanie
=
2
.
2
cos
a
Przekształcamy lewą stronę, wyłączając wspólny czynnik przed nawias i stosując „jedynkę”
cos
2
a
trygonometryczną, otrzymujemy
=
2
.
cos
a
1
Stąd
cos
a
=
.
2
Zatem
a
= 60
°
.
II sposób rozwiązania
3
2
cos
a
+
sin
a
×
cos
a
Zapisujemy równanie
=
2
.
2
cos
a
Mnożąc obustronnie przez
cos
2
a
otrzymujemy
cos
3
a
+
sin
2
a
×
cos
a
=
2
cos
2
a
.
Dzielimy obustronnie przez
(
cos
a
>
0
) otrzymując
cos
2
a
+
sin
2
a
=
2
cos
a
.
cos
a
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Model oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki - poziom podstawowy
5
1
Lewa strona równania jest „jedynką” trygonometryczną, więc
1
=
2
cos
a
. Stąd
cos
a
=
.
2
a
= 60
°
Zatem
.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................. 1pkt
cos
3
a
+
sin
2
a
cos
a
cos
2
a
·
gdy przekształci równanie
=
2
do postaci :
=
2
.
2
cos
a
cos
a
albo
3
2
cos
a
+
sin
a
cos
a
·
gdy przekształci równanie
=
2
do postaci :
cos
2
a
2
2
cos
a
+
sin
a
=
2
cos
a
Zdający otrzymuje ............................................................................................................. 2pkt
1
gdy obliczy
cos
a
=
i poda rozwiązanie:
a
= 60
°
.
2
Zadanie 28. (0 - 2)
Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest spodkiem
wysoko
ś
ci
przeciwprostok
ą
tn
ą
opuszczonej
na
BC
oraz
1
0
DC
=
BD
(patrz rysunek). Wykaż, że
Ð
ABD
=
30
.
3
I sposób rozwiązania
Zauwa
ż
amy,
ż
e trójk
ą
ty
ADC
i
BDA
s
ą
podobne (cecha
kk
,
Ð
ACD
=
Ð
BAD
AD
DC
2
Ð
DAC
=
Ð
DBA
=
, sk
ą
d
AD
=
BD
×
DC
oraz
). Zatem
.
BD
AD
1
1
2
Ponieważ
DC
=
BD
, więc
AD
=
BD
×
BD
.
3
3
2
AD
AD
1
3
Po przekształceniu otrzymujemy
=
, stąd mamy
=
.
BD
3
BD
3
AD
3
Z definicji funkcji tangens k
ą
ta
ABD
w
D
BDA
tg
Ð
ABD
=
=
mamy:
.
BD
3
Zatem
Ð
ABD
=
30
°
.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

anio102.xlx.pl