olimpiady matematyczne

olimpiady matematyczne, Zadania z olimpiad matematycznych

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Н. Х. Агаханов
И. И. Богданов
П. А. Кожевников
О. К. Подлипский
Д. А. Терешин
ВСЕРОССИЙСКИЕ ОЛИМПИАДЫ
ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ
1993
–
2006
ОКРУЖНОЙ И ФИНАЛЬНЫЙ ЭТАПЫ
Под редакцией Н. Х. Агаханова
Москва
Издательство МЦНМО
2007
УДК 51
ББК 74.200.58:22.1
Р76
Авторы:
Н. Х. Агаханов, И. И. Богданов, П. А. Кожевников
О. К. Подлипский, Д. А. Терешин
Под редакцией Н. Х. Агаханова
Издание осуществлено при поддержке
Московского института открытого образования.
Всероссийские олимпиады школьников по математике
1993
–
2006
: Окружной и финальный этапы / Н. Х. Агаханов и др.
Подред.Н.Х.Агаханова.— М.: МЦНМО, 2007. — 472 с.
ISBN 978-5-94057-262-6
В книге приведены задачи заключительных (четвертого и пятого) этапов Все-
российских математических олимпиад школьников 1993–2006 годов с ответами и
полными решениями.
Все приведенные задачи являются авторскими. Многие из них одновременно
красивы и трудны, что отражает признанный в мире высокий уровеньроссийской
олимпиадной школы. Частьзадач уже стала олимпиадной классикой.
Книга предназначена для подготовки к математическим соревнованиям высоко-
го уровня. Она будет интересна педагогам, руководителям кружков и факультативов,
школьникам старших классов. Для удобства работы приведен тематический рубри-
катор.
Р76
ББК 74.200.58:22.1
c
Н. Х. Агаханов, И. И. Богданов,
П. А. Кожевников, О. К. Подлипский,
Д. А. Терешин, 2007.
c
МЦНМО, 2007.
ISBN 978-5-94057-262-6
В
ВЕДЕНИЕ
3
ВВЕДЕНИЕ
Данная книга посвящена Всероссийским олимпиадам школьников по
математике. Книга рекомендуется как школьникам, интересующимся
олимпиадами, так и учителям, руководителям кружков и факультативов.
История математических олимпиад школьников в нашей стране берет
свое начало в 30-х годах прошлого века, когда в Ленинграде и Москве
были организованы первые олимпиады.
До войны олимпиады проводилисьежегодно. Они быстро завоевали
популярность. Сразу после войны они были возобновлены и проводились
первоначально только в больших городах, где находились сильные уни-
верситеты. В конце 50-х – начале 60-х годов прошлого столетия матема-
тические олимпиады стали традиционными для многих городов Советско-
го Союза.
Первой математической олимпиадой, в которой приняли участие
несколько областей РСФСР, стала проводившаяся в Москве олимпиада
1960 года. Ее иногда называют
Всероссийской математиче-
ской олимпиадой школьников. Официальная нумерация началась с 1961
года. В первой Всероссийской математической олимпиаде приняли уча-
стие команды почти всех областей РСФСР, а также команды союзных
республик. Фактически в олимпиаде принимали участие команды всех
территорий Советского Союза, поэтому с 1967 года эта олимпиада была
переименована во Всесоюзную олимпиаду школьников по математике.
А с 1974 года было принято решение о направлении на Всесоюзную
олимпиаду не команд областей, а команд союзных республик. РСФСР на
олимпиаде представляли шестькоманд: Москвы, Ленинграда и четырех
зон (Северо-Западной, Центральной, Юго-Западной, а также Сибири и
Дальнего Востока). Структурно Всероссийская олимпиада состояла из
четырех этапов: школьного, городского (районного), областного (респуб-
ликанского, краевого) и зонального. В отдельные зоны были выделены
города Москва и Ленинград. Рольфинала для школьников РСФСР иг-
рала Всесоюзная олимпиада. Такая структура олимпиады сохранялась
вплотьдо распада Советского Союза. С 1992–93 учебного года в Рос-
сийской Федерации стал проводиться пятый, заключительный этап Все-
российской олимпиады школьников. Впервые он был проведен в Красно-
дарском крае (город Анапа).
В последующие годы заключительные этапы Всероссийской матема-
тической олимпиады проходили дважды в Майкопе и Твери, и по одному
разу в Казани, Калуге, Нижнем Новгороде, Орле, Пскове, Рязани, Сара-
тове, Чебоксарах, Ярославле.
нулевой
4
В
ВЕДЕНИЕ
В 2001 году произошли изменения в схеме проведения четвертого эта-
па. Было введено новое деление (вместо зонального) — на семьфеде-
ральных округов: Южный, Центральный, Северо-Западный, Приволж-
ский, Уральский, Сибирский и Дальневосточный. И сам четвертый этап
стал называться федеральным окружным. При этом был сохранен особый
статус городских олимпиад Москвы и Санкт-Петербурга. Такая структу-
ра проведения Всероссийской олимпиады (в пятьэтапов) сохраняется и в
настоящее время.
Согласно Положению, задания для четвертого и пятого этапов олим-
пиады разрабатываются Методической комиссией по математике Все-
российской олимпиады школьников. В ее состав в разные годы вхо-
дили и входят студенты, аспиранты, преподаватели и научные сотруд-
ники МГУ, СПбГУ, МФТИ(ГУ), ЯрГУ, НГУ, вузов и специализирован-
ных физико-математических школ Иваново, Калуги, Кирова, Костро-
мы, Москвы, Нижнего Новгорода, Самары, Санкт-Петербурга, Сарато-
ва, члены редколлегии журнала
, а ее руководителем бессменно
является профессор кафедры высшей математики МФТИ(ГУ) Геннадий
Николаевич Яковлев. Большинство членов Комиссии — победители и
призеры Всесоюзных, Всероссийских и Международных математических
олимпиад прошлых лет. Традиции современных Всероссийскихолимпиад,
их стильзакладывалисьв начале 90-х годов выдающимися математика-
ми и педагогами, в их числе В.В. Вавилов, Л.П. Купцов, Ю.В. Нестерен-
ко, С.В. Резниченко, И.Н. Сергеев, М.Г. Сонкин, А.А. Фомин. Большой
вклад в олимпиадное движение был сделан безвременно ушедшими Н.Б.
Васильевым, А.П. Савиным, М.В. Смуровым, И.Ф. Шарыгиным.
Все задачи, включенные в книгу, являются авторскими. Многие из
них уже стали олимпиадной классикой. В книгу вошли задания четвер-
того и пятого этапов Всероссийской математической олимпиады школь-
ников, проводившихся в 1993–2006 годах. После условия каждой задачи
в скобках указан ее автор. Также в книгу включены решения задач. Для
удобства работы с книгой приводится тематический рубрикатор.
Квант
П
РИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
5
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
R — множество действительных чисел;
a
∈
A
— элемент
a
принадлежит множеству
A
;
∅ — пустое множество;
B
⊂
A
— множество
B
является подмножеством множества
A
;
A
∪
B
— объединение множеств
A
и
B
;
A
∩
B
— пересечение множеств
A
и
B
;
A
\
B
— разностьмножеств
A
и
B
(т. е. множество, содержащее все
такие элементымножества
A
, которые не принадлежат
B
);
f
:
A
→
B
— функция
f
, определенная на множестве
A
, значения
которой лежат в множестве
B
;
i
=1
n
a
i
— сумма чисел
a
1
,
a
2
,...,
a
n
;
i
=1
n
a
i
— произведение чисел
a
1
,
a
2
,...,
a
n
;
[
x
]
— целая частьдействительного числа
x
,т.е. наибольшеецелое
число, не превосходящее
x
;
{
x
}
— дробная частьдействительного числа
x
,(
{
x
}
=
x
−
[
x
]
);
a
.
b
или
b
|
a
—
a
делится на
b
(или
b
делит
a
);
a
≡
b
(mod
n
)
—
a
сравнимо с
b
по модулю
n
(т. е. целые числа
a
и
b
дают равные остатки при делении на
n
);
НОД
(
a, b
)
(или
(
a, b
)
) — наибольший общий делитель чисел
a
и
b
;
НОК
(
a, b
)
(или
[
a, b
]
) — наименьшее общее кратное чисел
a
и
b
;
AC
(
ABC
) — дуга
AC
(дуга
AC
, на которой лежит точка
B
);
P
(
M
)
или
P
M
— периметр многоугольника
M
;
S
(
M
)
или
S
M
— площадьмногоугольника
M
;
V
(
M
)
или
V
M
— объем многогранника
M
;
(
a,b
)
b
— скалярное произведение векторов
a
и
;
n
!
—
n
-
факториал
, произведение
n
первых натуральных чисел,
n
!=
=1
;
C
n
— число сочетаний из
·
2
·
...
·
n
n
по
k
, т. е. количество
k
-элементных под-
n
!
множеств
n
-элементного множества,
C
n
=
(
n − k
)!
k
!
(
k
n
).
0
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

anio102.xlx.pl