odp 2006

odp 2006, Matura, Matematyka - matury (2005-2013) arkusze+odpowiedzi

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Miejsce
na naklejkę
z kodem szkoły
dysleksja
MMA-R1A1P-062
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
Arkusz II
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 150 minut
ARKUSZ II
MAJ
ROK 2006
Instrukcja dla zdającego
1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14stron
(zadania 12 – 21). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwiązaniach zadań przedstaw tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora.
9. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.
Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
egzaminatora.
10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.
Zamaluj pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne
zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe.
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie
50 punktów
Życzymy powodzenia!
Wypełnia zdający przed
rozpoczęciem pracy
KOD
ZDAJĄCEGO
PESEL ZDAJĄCEGO
2
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 12. (
5 pkt
)
Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej
n
≥
1
prawdziwy jest wzór:
13(1!) 2 4 2!
⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅⋅⋅++ =+−
2
() ( () ( )
2
2
nn
2 !
n
2
⎡ ⎤
n
1! 1
.
Sprawdzam, czy wzór jest prawdziwy dla
n
=
:
1
L
=⋅⋅
( )
2
131!
P
= −
2! 1
L P
=
Założenie indukcyjne
:
1 3 (1!) 2 4 2 !
⋅⋅ +⋅⋅ + + + = + −
2
()
2
... (
nn
2)( !)
n
2
⎡ ⎤
( )
2
n
1 !
1
dla
1
n
≥
.
Teza
:
1 3 (1 !) 2 4 2 !
⋅⋅ +⋅⋅ + + + + + + + = + −
2
( )
2
. .. (
nn
2)( !) ( 1)(
n
2
n
n
3) ( 1) !
[ ][ ]
n
2
(
n
2) !
2
1
Dowód
:
Korzystam z założenia indukcyjnego i otrzymuję
Ln
=+ −++ + + =
( )! 1( )( ) ( )!
2
n n n
[ ]
2
=+ ++ + + −.
[ ]
2
( )( ) ( )! 1
n
n
[ ]
n
2
Wyłączam z pierwszych dwóch składników wyrażenia wspólny czynnik
[ ]
2
( )!
n
+
przed nawias
:
Ln
= + ⋅ + + + −= + ⋅ + + −=
( )! 1( )( ) 1( )!
2
n n
] [ ]
( )
n
2
n n
2
4 41
=+ ⋅ +−
[ ]
( )
2
n
2 .
2
Korzystam z równości :
( )!( ) ( )!
n
+ + = +
i otrzymuję
n
n
L
=+ + −=+ −=
.
( 1)!( 2)
n
n
] [ ]
2
1 ( 2)! 1
n
2
P
wniosek
:
Z zasady indukcji matematycznej wynika, że wzór jest prawdziwy dla
każdej liczby naturalnej
1
n
≥
.
Wypełnia
egzaminator!
Nr czynności
12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Uzyskana liczba pkt
⎣ ⎦
⎣ ⎦
[ ]
( )!
n
[ ] [
( )!
n
[
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
3
Zadanie 13. (
5 pkt
)
Dany jest ciąg
()
n
a
, gdzie
a
=
56
10( 1)
n
+
dla każdej liczby naturalnej
≥
n
.
1
n
n
+
a) Zbadaj monotoniczność ciągu
( )
n
a
.
b) Oblicz
lim .
a
n
n
→
∞
c) Podaj największą liczbę
a
i najmniejszą liczbę
b
takie, że dla każdego
n
spełniony jest
warunek
aa b
≤≤
n
.
a)
Aby określić monotoniczność ciągu obliczam różnicę
aa
+
−
.
n
aa
−= − =
+
5 1
5 6
10
n
+
n
+
n
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
1
n
n
2 10
n
+
1
=
5 1 1 5 6 2
10
n
+ + − + +
n
n
n
=
n
++
1
n
2
5
nnn n nn
n
2
++ +− − −−
5 11 11 5
2
10 6 12
=
=
10
( )( )
++
1
n
2
=
−
1
10
( )( )
n
++
1
n
2
−
<
++
1
0
dla każdej liczby naturalnej
,
zatem ciąg jest malejący.
10
( )( )
n
1
n
2
b)
5
+
6
lim
56
n
+
=
lim
56
n
+
=
lim
n
=
1
10( 1)
n
+
10 10
n
+
10
2
n
→∞
n
→∞
n
→∞
10
+
n
c)
Ciąg jest malejący, więc najmniejszą liczbą, która spełnia nierówność
n
a
≤
jest pierwszy wyraz tego ciągu, czyli
b
=
, natomiast największą liczbą
11
20
spełniającą nierówność
a
≤
jest granica tego ciągu, czyli
n
a
=
.
1
2
Nr czynności
13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5.
Wypełnia
egzaminator!
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Uzyskana liczba pkt
n
1
+
4
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 14. (
4 pkt)
a) Naszkicuj wykres funkcji
y
= w przedziale
sin
2
x
< π
−
2
π2
,
>
.
b) Naszkicuj wykres funkcji
y
sin
= w przedziale
2
x
< π
−
2
π2
,
>
sin
2
x
i zapisz, dla których liczb z tego przedziału spełniona jest nierówność
sin
2
x
<
0
.
sin
2
x
a)
y
6
5
4
3
2
1
x
-2
π
-
π
π
2
π
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
b)
Wyznaczam dziedzinę funkcji
y
=
:
sin2
sin2
x
x
sin2
x
≠
dla
x
≠
k
π
.
2
Przekształcam wzór funkcji
:
y
= =
⎨
−
sin2
x
⎧
1
dla
sin2 0
x
>
sin2
x
⎩
1
dla
sin2 0
x
<
0
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
5
⎪
⎪
1
dla x
∈− − ∪− − ∪ ∪
⎛
2
π
,
π
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
π
,
π π
0
,
π
,
3
π
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
2
2
2
2
y
=
⎨
⎛
3
π
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
π π
3
π
⎪
−
1
dla x
∈ − − ∪ − ∪ ∪
⎜
,
π
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
,
0
,
π
,
2
π
⎪
⎝
2
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
2
2
y
4
3
2
1
x
-2
π
-3
π
/2
-
π
-
π
/2
π
/2
π
3
π
/2
2
π
-1
-2
-3
-4
-5
Odp.
:
Rozwiązaniem nierówności
sin2
x
x
<
0
sin2
jest zbiór
:
⎛
−−∪− ∪ ∪
π
,
π
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
π π
, 0
,
π
3
π
, 2
π
⎝
2
2
2
2
Wypełnia
egzaminator!
Nr czynności
14.1. 14.2. 14.3. 14.4.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
Uzyskana liczba pkt
3
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎧
⎩
5
3
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

anio102.xlx.pl