odp 2012

odp 2012, Matura, Matematyka - matury (2005-2013) arkusze+odpowiedzi

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Centralna Komisja Egzaminacyjna
EGZAMIN MATURALNY 2012
MATEMATYKA
POZIOM ROZSZERZONY
Kryteria oceniania odpowiedzi
MAJ 2012
2
Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom rozszerzony
Zadanie 1. (0–4)
Obszar standardów
Opis wymagań
Modelowanie matematyczne
Rozwiązanie zadania, prowadzącego do równania
kwadratowego (III.3.b)
Rozwiązanie
Niech
a
oznacza najmniejszą z czterech szukanych liczb całkowitych. Wtedy kolejne liczby
to:
a
 .
Zapisujemy zatem równanie kwadratowe
a
 ,
1
a
 ,
2
3

 
2

2
2
a
 
3
a
a
1
a
2
2
3520
które po przekształceniu przyjmuje postać
aa

.
2
3
2
3
Równanie to ma dwa rozwiązania:
a
  ,
1
a
  . Rozwiązanie
 odrzucamy jako
2
1
sprzeczne z treścią zadania (nie jest to liczba całkowita).
Zatem szukane liczby to:
 , 0 , 1, 2 .
Schemat oceniania rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania ……………………………………………………………............. 1 pkt
Zapisanie, że szukane liczby to:
aa
,
, gdzie
a
jest liczbą całkowitą.
1,
a
2,
a
3
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
................................................................... 2 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą:

 
2

2
2
2
3520
a
 
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ……...………………………….... 3 pkt

a
  lub
3
a
a
1
a
2

 
2

2
2
Przekształcenie równania
     do postaci równania
kwadratowego z błędem rachunkowym (na przykład błąd w redukcji wyrazów
podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do
końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste),
a
3
a
a
1
a
2
albo

poprawne rozwiązanie równania kwadratowego
2
3520
aa

, nieodrzucenie
2
 i podanie w odpowiedzi dwóch czwórek liczb.
Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 4 pkt
Zapisanie czwórki liczb całkowitych spełniających warunki zadania:
rozwiązania
 , 0 , 1, 2 .
Uwagi
1. Jeżeli zdający źle zinterpretuje treść zadania, to za całe rozwiązanie otrzymuje
0 punktów
.
2. Jeśli zdający bez wykonywania rachunków poda odpowiedź i nie uzasadni, że jest to
jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje
1 punkt
.
 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom rozszerzony
3
Zadanie 2. (0–4)
Użycie i tworzenie strategii
Rozwiązanie nierówności wielomianowej (IV.3.c.R)
I sposób rozwiązania
Rozwiązanie nierówności wielomianowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap to zastosowanie jednej z kilku metod, które pozwalają zapisać wielomian
w postaci iloczynowej, drugi etap to rozwiązanie nierówności.
Pierwszy etap:
zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej.
I wariant
(grupowanie wyrazów)
Zapisujemy nierówność w postaci
4
2
xx x
 , a następnie przedstawiamy lewą stronę
20
nierówności w postaci iloczynowej:








4
2
3
2
x
 
x
2
x xx
x
2
xxx
 
1
2
x
1











 

 

2

x x x

1
x
 
1
2
x

1

x x

1
x x
  
1
2
x x

1
x
 
x
2
II wariant
(odgadnięcie pierwiastka i dzielenie metodą pisemną)
Zapisujemy nierówność w postaci
xx x
4
 , a następnie przedstawiamy lewą stronę
2
20


nierówności w postaci iloczynowej:
xx xxxx
4
  . Zauważamy, że
2
2
3
2
x
 jest
1
pierwiastkiem wielomianu
x
 i dzielimy wielomian
3
2
x
  przez dwumian
3
2
x

1
sposobem pisemnym lub za pomocą algorytmu Hornera, otrzymując
x
. Następnie
2
2



zapisujemy nierówność w postaci iloczynowej

xx

1
x
2
 .
x
2
0
Drugi etap:
rozwiązanie nierówności.
Zauważamy, że trójmian
2
x
 przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby
rzeczywistej
x
, zatem rozwiązanie nierówności

2



2
xx

1
x
  jest jednocześnie
x
2
0


10
rozwiązaniem
nierówności
kwadratowej
xx
  ,
czyli
sumą
przedziałów

,0

  .
1,
)
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ........................................................................................................................1 pkt
Zapisanie wielomianu
x
4
 w postaci iloczynu, w którym jednym z czynników jest
x
2
2
x
x
lub
x
 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ....................................................................2 pkt
Zapisanie nierówności w postaci iloczynu czynników stopnia co najwyżej drugiego , np.

1



2
    .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ...................................................................3 pkt

xx
1
x
x
2
0
4
2
Zauważenie, że rozwiązanie nierówności
xx x
  jest jednocześnie
20
rozwiązaniem nierówności kwadratowej


10
xx
 
albo

narysowanie i uzupełnienie tabeli znaków lub sporządzenie szkicu wykresu
wielomianu z uwzględnieniem jego miejsc zerowych.
Rozwiązanie pełne .............................................................................................................4 pkt
Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności
:

,0
4
2
x

x

2
x
x
 
  .
1,
)
 4
Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom rozszerzony
Uwaga
Jeśli zdający podzieli nierówność przez
x
lub
x
 , bez rozpatrzenia odpowiednich
przypadków to za całe rozwiązanie otrzymuje
0 punktów
.
1
II sposób rozwiązania
Rozwiązujemy nierówność w trzech przedziałach:
I.

,0
, II.

x

x

0,1
, III.
x
 
1,
)
I.

,0
x

4
2
Wtedy
x

0
i
x

0
, a 20
x

.
 dla każdego

,0
4
2
Stąd
x
x
2
x
x

.
II.

x

0,1
4

2

Wtedy
x
x
i
x
x
.
x
dla każdego

4
2
Stąd

x
.
Zatem dana nierówność nie ma rozwiązań w tym przedziale.
III.
x

x
2
0,1
x

1,
)
4

2

Wtedy
x
x
i
x
x
.
4
2
Stąd
x

x
2
x
dla każdego
x

1,
)
.
 jest zbiór

,0
4
2
Odp. Rozwiązaniem nierówności
x
x
2
x
x
 
  .
1,
)
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje
po 1 punkcie
za rozwiązanie nierówności w każdym z trzech przedziałów.
Czwarty punkt
zdający otrzymuje za podanie odpowiedzi końcowej.
Zadanie 3. (0–4)
Użycie i tworzenie strategii
Rozwiązanie równania trygonometrycznego (IV.6.e.R)
Rozwiązanie
Wykorzystując wzór na cosinus podwojonego kąta:
2
x
  , przekształcamy
równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna argumentu
x
:

cos 2
2 cos
1

2cos
2
x

1
3cos
x
.
2
0
Porządkujemy i otrzymujemy równanie:
2 cos
2
x

3cos
x
 .
1
0
Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, np.
t
cos
, gdzie
t


1
.

x
Otrzymujemy równanie kwadratowe
2
2310
t
  .
1
2
Rozwiązujemy równanie kwadratowe, otrzymując:
t
 ,
1
t
 .
1
2
1
Rozwiązujemy równania cos
x
 i
1
cos
x
 .
2
 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom rozszerzony
5
Zapisujemy rozwiązania równań:
2
x

k

, gdzie
k
jest liczbą całkowitą
lub

x
 , gdzie
k
jest liczbą całkowitą
2
k

3
lub

x
 
2
k

, gdzie
k
jest liczbą całkowitą.
3
Schemat oceniania rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania .......................................................................................................................... 1 pkt
Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej argumentu
x
, np.:


2
2
x
  .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ....................................................................... 2 pkt
2cos
x

1
3cos
x
 lub
2
0
2 cos
3cos
1
0
1
Rozwiązanie równania
2 cos
2
x

3cos
x
  z niewiadomą cos
x
: cos
1
0
x
 lub
1
cos
x
 .
2
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ...................................................................... 3 pkt
1
Rozwiązanie jednego z równań cos
x
 lub
1
cos
x
 .
2
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................... 4 pkt


Rozwiązanie równania:
x

2
k

, gdzie
k
jest liczbą całkowitą lub
x
 ,
2
k

3

gdzie
k
jest liczbą całkowitą lub
x
 
2
k

, gdzie
k
jest liczbą całkowitą
3
albo

x
 , gdzie
n
jest liczbą całkowitą lub
360
x
  
60
n
360
, gdzie
n
jest liczbą
całkowitą lub
x
  
60
n
360
, gdzie
n
jest liczbą całkowitą.
Uwaga
Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego i otrzyma
dwa rozwiązania, z których co najmniej jedno należy do przedziału

1, 1
i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje
3 punkty
.
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

anio102.xlx.pl